Question

【题目】如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．

（1）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．

（2）根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ；

（3）如果一个三角形的最小角是15°，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为 ．

Answer 1

【答案】（1）∠B=3∠C；（2）∠B=n∠C；（3）15°，150°．

【解析】试题分析：（1）仔细分析题意根据折叠的性质及“好角”的定义即可作出判断；
（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的 由 又 由此即可求得结果；

（3）因为最小角是15°是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为（其中都是正整数），由题意得所以 再根据都是正整数可得 与是的整数因子，从而可以求得结果

试题解析：(1)△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；

理由如下：小丽展示的情形二中，

∵沿∠BAC的平分线折叠，

∴

又∵将余下部分沿的平分线折叠,此时点与点C重合，

∴

∵ (外角定理)，

∴∠B=2∠C；

故答案是：是；

(2)∠B=3∠C；

在△ABC中,沿∠BAC的平分线折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿的平分线折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿的平分线折叠,点与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角.

证明如下：∵根据折叠的性质知,

∴根据三角形的外角定理知,

∵根据四边形的外角定理知,

根据三角形ABC的内角和定理知,

∴∠B=3∠C；

由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C；

故答案为：∠B=3∠C；∠B=n∠C

(3)由(2)知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，

因为最小角是是△ABC的好角，

根据好角定义,则可设另两角分别为 (其中m、n都是正整数).

由题意,得所以m(n+1)=11

因为m、n都是正整数，所以m与n+1是 的整数因子，

因此有：

所以m=1，n=10.

所以

所以该三角形的另外两个角的度数分别为：15°，150°．