Question

【题目】抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，﹣3），

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：将C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c，

得c=﹣3．

将c=﹣3，B（3，0）代入y=ax2+bx+c，

得9a+3b+c=0．（1）

∵直线x=1是对称轴，

∴ ．（2）（2分）

将（2）代入（1）得

a=1，b=﹣2．

所以，二次函数得解析式是y=x2﹣2x﹣3．

（2）解：AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点．

∵C点的坐标为（0，﹣3），A点的坐标为（﹣1，0），

∴直线AC的解析式是y=﹣3x﹣3，

又∵直线x=1是对称轴，

∴点P的坐标（1，﹣6）．

（3）解：设M（x1，y）、N（x2，y），所求圆的半径为r，

则x2﹣x1=2r，（1）

∵对称轴为直线x=1，即 =1，

∴x2+x1=2．（2）

由（1）、（2）得：x2=r+1．（3）

将N（r+1，y）代入解析式y=x2﹣2x﹣3，

得y=（r+1）2﹣2（r+1）﹣3．

整理得：y=r2﹣4．

由所求圆与x轴相切，得到r=|y|，即r=±y，

当y＞0时，r2﹣r﹣4=0，

解得， ， （舍去），

当y＜0时，r2+r﹣4=0，

解得， ， （舍去）．

所以圆的半径是 或 ．

【解析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再画出函数图象进行计算.