Question

【题目】如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，连AB，且PA，PB的长是方程x2﹣2mx+3=0的两根，AB=m．试求：

（1）⊙O的半径；

（2）由PA，PB，围成图形（即阴影部分）的面积．

Answer 1

【答案】（1）OA=1；（2）﹣π．

【解析】试题分析：用切线的性质及根的判别式求出m的值即AB的长，代入原方程得出两根即PA、PB的长，因AB=PA=PB，△ABP为等边三角形，∠APB=60°，则∠APO=30°，再用正切公式求出OA的长及圆的半径．用正切求出OP的长，四边形的度数和求出∠AOB的度数，再求出△AOB和△APB的面积和，减去扇形OAB的面积即为所求．

解：（1）连OA，OB，

∵PA=PB，

∴△=（﹣2m）2﹣4×3=0，

∴m2=3，m＞0，

∴m=，

∴x2﹣2x+3=0，

∴x1=x2=，

∴PA=PB=AB=，

∴△ABP等边三角形，

∴∠APB=60°，

∴∠APO=30°，

∵PA=，

∴OA=1；

（2）∵∠AOP=60°，

∴∠AOB=120°，

S阴=S四边形OAPB﹣S扇形OAB

=2S△AOP﹣S扇形OAB

=2××1×﹣，

=﹣π．