Question

【题目】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°．

（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5．

①求证：AF⊥BD，

②求AF的长度；

（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．求证：AF⊥BD；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AF=（2）见解析（3）∠AFG=45°

【解析】

试题分析：（1）①根据SAS可证△ACE≌△BCD，再根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，再结合对顶角相等证得结论；

②根据同一个三角形的面积不变可求的AF得值；

（2）如①的方法，根据SAS证得△ACE≌△BCD，再根据全等三角形的性质和垂直的定义可证；

（3）如图4，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，然后由上面的结论△ACE≌△BCD，可根据全等三角形的面积相等证得CM=CN，再根据角平分线的判定得证CF平分∠BFE，最后根据角平分线的性质得证．

试题解析：（1）①证明：如图1，∵AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，EC=DC，∴△ACE≌△BCD，

∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AF⊥BD．

②∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴BD=13，

∵S△ABD=AD·BC=BD·AF，∴AF=．

（法2：∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴AE=BD=13，BE=7，设EF=x，

∵∠BFE=90°，∴BF2=BE2-EF2，BF2=AB2-AF2，∴72-x2=288-（13+x）2，

∴x=，∴AF=13+=．）

（2）证明：如图4，∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，

∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，EC=DC，∴△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF⊥BD．

（3）∠AFG=45°．

如图4，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，∵S△ACE=AE·CN，

S△BCD=BD·CM，∴CM=CN，

∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，

∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．

（法2：过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，∵CM⊥BD，CN⊥AE，

∴∠BMC=∠ANC=90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，∵∠BMC=∠ANC=90°，∠1=∠2，

AC=BC，∴△BCM≌△ACN，∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，

∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．）