Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知C点坐标为（6，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出△PAC的最大面积；

（3）连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于点D，以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x﹣3．（2）P点的位置是（3，），△PAC的最大面积是．（3）P点的位置是（3，），△PAC的最大面积是．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线顶点为（4，1），可设出其顶点式y=a（x﹣4）2+1，将C点（6，0）代入其中即可求得a的值；

（2）设出P点坐标（m，﹣m2+2m﹣3），用含m的多项式来表示出△PAC面积，根据解极值问题即可得出△PAC的面积取最大值时P点的坐标，以及最大面积值；

（3）如图做好辅助线，借助于相似三角形的比例关系求出C到直线BD的距离，再与⊙C半径进行比较，即可得出结论．

（1）解：∵抛物线的顶点为（4，1），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣4）2+1．

∵抛物线经过点C（6，0），

∴0=a（6﹣4）2+1，解得a=﹣，

∴y=﹣（x﹣4）2+1=﹣x2+2x﹣3．

所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣3．

（2）解：如图1，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，

∵A（0，﹣3），C（6，0），

∴直线AC解析式为y=x﹣3．

设P点坐标为（m，﹣m2+2m﹣3），

则Q点的坐标为（m，m﹣3），

∴PQ=﹣m2+2m﹣3﹣（m﹣3）=﹣m2+m，

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+，

∴当m=3时，△PAC的面积最大为．

∵当m=3时，﹣m2+2m﹣3=，

∴P点坐标为（3，）．

综上：P点的位置是（3，），△PAC的最大面积是．

（3）判断直线BD与⊙C相离．

证明：令﹣（x﹣4）2+1=0，解得x1=2，x2=6，

∴B点坐标（2，0）．

又∵抛物线交y轴于点A，

∴A点坐标为（0，﹣3），

∴AB==．

设⊙C与对称轴l相切于点F，则⊙C的半径CF=2，

作CE⊥BD于点E，如图2，则∠BEC=∠AOB=90°．

∵∠ABD=90°，

∴∠CBE=90°﹣∠ABO．

又∵∠BAO=90°﹣∠ABO，

∴∠BAO=∠CBE．

∴△AOB∽△BEC，

∴=，

∴=，

∴CE=＞2．

∴直线BD与⊙C相离．