Question

【题目】平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．
（1）当k=1时，求点P的坐标；
（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；

（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：当k=1时，直线l2为y=x+2．

解方程组 ，

解得 ，

∴P（ ， ）；

（2）解：当y=0时，kx+2k=0，

∵k≠0，

∴x=﹣2，

∴C（﹣2，0）则OC=2，

当y=0时，﹣ x+3=0，

∴x=6，

∴A（6，0），OA=6，

过点P作PG⊥DF于点G，

在△PDG和△ADE中，

，

∴△PDG≌△ADE，

得DE=DG= DF，

∴PD=PF，

∴∠PFD=∠PDF

∵∠PFD+∠PCA=90°，∠PDF+∠PAC=90°

∴∠PCA=∠PAC，

∴PC=PA

过点P作PH⊥CA于点H，

∴CH= CA=4，

∴OH=2，

当x=2时，y=﹣ ×2+3=2代入y=kx+2k，得k=

（3）解：直角△PQR和直角△PMC中，

，

∴Rt△PMC≌Rt△PQR，

∴CM=RQ，

∴NR=NC，

设NR=NC=a，则R（﹣a﹣2，a），

代入y=﹣ x+3，

得﹣ （﹣a﹣2）+3=a，解得a=8，

设P（m，n），则 ，

解得 ，

∴P（﹣ ， ）．

【解析】（1）解两个函数解析式组成的方程组即可求解；（2）过点P作PG⊥DF于点G，易证△PDG≌△ADE，点P作PH⊥CA于点H，可以证明H是AC的中点，则H的坐标即可求得，进而求得P的坐标，进而求得k的值；（3）Rt△PMC≌Rt△PQR，则RQ=MC，设NR=NC=a，则R（﹣a﹣2，a），代入y=﹣ x+3，求得a的值，设P（m，n），根据P在直线l1上和RQ=MC即可列方程组求解．