Question

【题目】如图，直线l1∥l2∥l3 ， 且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为2，等腰△ABC的顶点分别在直线l1、l2 ， l3上，AB=AC，∠BAC=120°，则等腰三角形的腰长为 ．

Answer 1

【答案】2或 或
【解析】解：①如图1中，作BF⊥l1于F交l3于H，取BC的中点E，过点E作l4∥l3 ， 连接AE．取AB的中点O，连接OF、OE．
∵AB=AC，BE=EC．
∴AE⊥BC，∠BAE=60°，∵BF⊥AF，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴OA=OB=OF=OE，
∴A、F、B、E四点共圆，
∴∠BFE=∠BAE=60°，
∵l1∥l2∥l3∥l4 ， BE=EC，
∴BF=BM=MH=1，
在Rt△EFM中，EM=FMtan60°=2 ，
在Rt△BEM中，BE= = ，
在Rt△ABE中，AB=BE÷cos30°= ．
②如图2中，作BF⊥l3于F交l2于G，取BC的中点E，过点E作 ∥l1交BF于H．

同理可证B、F、A、E四点共圆，
∴∠BFE=∠BAE=60°，
∵BE=EC，l1∥l4∥l2 ，
∴BH=HG= ，
在Rt△EHF中，HE=FHtan60°= ，
在Rt△BEH中，BE= = ，
∴AB=BE÷cos30°= ，
③如图3中，在直线l2取一点A，作AB⊥l2交l3于B，作∠CAB=120°，作CE⊥l2于E．

∵∠CAE=∠CAB﹣∠EAB=120°﹣90°=30°，
∴在Rt△ACE中，AC=2EC=2，
∵AB=2，
∴AC=AB，
∴△ABC满足条件，
∴AB=2，
综上所述，等腰三角形的腰长为2或 或 ．
【考点精析】通过灵活运用含30度角的直角三角形，掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半即可以解答此题．