Question

【题目】如图 1，在△ ABC中，∠ACB = 2∠B, ∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥ AO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M

（1）当直线l经过点C时(如图 2)，求证:NH = CH；

（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明;

（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CD=2CE，理由见解析；（3）①当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；

②当点M在线段BC的延长线时，CD=BN-CE；③当点M在线段CB的延长线上时，CD=CE-BN

【解析】

（1）根据AD平分∠BAC和CN⊥AD可证△AHC≌△AHN，从而可以得到答案；

（2）过点C作交AB于点, 过点C作CG∥AB交直线l于点G，结合（1）再证△BNM≌△CGM即可；

（3）结合（2）的证明过程，很容易判断BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：当点M在线段BC上时；当点M在线段BC的延长线时；当点M在线段CB的延长线上时.

证明：（1）∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∵CN⊥AD

∴∠AHC=∠AHN=90°

∵AH=AH

∴△AHC≌△AHN（ASA）

∴CH=NH

（2）

当M是BC中点时，CE和CD的等量关系为CD=2CE，

理由：证明：过点C作交AB于点,

连接，由（1）可知AO是的中垂线，

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

同理（1）可知△ANH≌AEH（ASA）

∴AN=AE，∠3=∠4

∴

即，

过点C作CG∥AB交直线l于点G，

则∠4=∠2，∠B=∠1

∴∠2=∠3

∴CG=CE，

∵M是BC的中点，

∴BM=CM

在△BNM和△CGM中，

∴△BNM≌△CGM（ASA）

∴BN=CG，

又∵CG=CE，

∴BN=CE，

∴；

（3）

结合（2）可知BN、CE、CD之间的等量关系：

当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；

当点M在线段BC的延长线时，CD=BN-CE；

当点M在线段CB的延长线上时，CD=CE-BN.