Question

【题目】在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED=EC.

(1)当点E为AB中点时，如图①，AE DB（填“﹥”“﹤”或“=”），并说明理由;

(2)当点E为AB上任意一点时，如图②，AE DB（填“﹥”“﹤”或“=”），并说明理由;（提示：过点E作EF∥BC，交AC于点F）

(3)在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，请你画出图形，并直接写出相应的CD的长.

Answer 1

【答案】（1）=，理由见解析；（2）=，理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．

解：(1)=，理由如下:

∵ED=EC

∴∠D=∠ECD

∵△ABC是等边三角形

∴∠ACB=∠ABC=60°

∵点E为AB中点

∴∠BCE=∠ACE=30°，AE=BE

∴∠D=30°

∴∠DEB=∠ABC-∠D= 30°

∴∠DEB=∠D

∴BD=BE

∴BD=AE

(2) 过点E作EF∥BC，交AC于点F

∵△ABC是等边三角形

∴∠AEF=∠ABC=60°， ∠AFE=∠ACB=60°， ∠FEC=∠ECB

∴∠EFC=∠EBD=120°

∵ED=EC

∴∠D=∠ECD

∴∠D=∠FEC

在△EFC和 △DBE中

∴△EFC≌△DBE

∴EF=DB

∵∠AEF=∠AFE=60°

∴△AEF 为等边三角形

∴ AE=EF

∴DB =AE

（3）解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：
①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，

则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=BC=，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴，
∴，
∴BN=，
∴CN=1+=，
∴CD=2CN=3；
②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，

则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=BC=，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴，
∴=，
∴MN=1，
∴CN=1-=，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1．