Question

【题目】（1）如图1，小明用尺规作图画∠AOB的角平分线OP，作图依据是__________（填写全等三角形的判定方法）；

（2）如图2，小亮用直角三角尺按照下面的方法画∠AOB的角平分线：①在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；②分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P；③画射线OP．则射线OP平分∠AOB．以上画角平分线，用到的三角形全等的判定方法是___________；

（3）如图3，小丽用刻度尺按照下面的方法画∠AOB的角平分线：①在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；②连接M、N，取线段MN的中点P；③画射线OP．则射线OP平分∠AOB．请帮助小丽说明画图的正确性．

Answer 1

【答案】 SSS HL

【解析】试题分析：（1）在图1中，连接MN和NP，由作图可知：OM=ON，MP=NP，又∵OP=OP，所以由“边边边”可证△OPM≌△OPN，从而得到∠AOP=∠BOP，∴作图依据是“SSS”；

（2）如图2，由已知条件和作图过程可知，OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，又∵OP=OP，∴由“HL”可证Rt△OPM≌Rt△OPN，从而得到∠AOP=∠BOP，∴用到的三角形全等判定方法是“HL”；

（3）如图3，由小丽的作法可知：OM=ON，PM=PN，又∵OP=OP，所以可由“SSS”证得△OPM≌△OPN，从而得到∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB.

试题解析：

（1）如图1，连接MN和NP，由作图可知：OM=ON，MP=NP，又∵OP=OP，

∴ 在△OPM和△OPN中： ，

∴ △OPM≌△OPN（SSS）；

（2）如图2，由已知条件和作图过程可知，OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，

又∵OP=OP，

∴在Rt△OPM和Rt△OPN中： ，

∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL）；

（3）∵点P是MN 的中点，∴PM=PN,

在△AOB和△DOC中： ，

∴△OPM≌△OPN（SSS）

∴∠POM=∠PON，即OP 是∠AOB的角平分线．