Question

【题目】已知函数f（x）=mex+x+1． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1 ， x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f′（x）=mex+1， m≥0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，
m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜ln（﹣ ），
令f′（x）＜0，解得：x＞ln（﹣ ），
故f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））递增，在（ln（﹣ ），+∞）递减；
（Ⅱ）证明：若f（x）有两个零点x1 ， x2（x1＜x2），
由（Ⅰ）得：f（x）max=f（ln（﹣ ））=ln（﹣ ）＞0，
解得：﹣1＜m＜0，
由f（x1）=f（x2）得：m= ①，
m（ ﹣ ）+（x1﹣x2）=0②，
将①代入②整理得：
x1= +1，
故x2+x1= +1+x2 ，
由m= = 得：﹣1＜ ＜0，
解得：﹣1＜x2＜0，
令g（x）= +x+1，（﹣1＜x＜0），
则g′（x）=1﹣xe﹣x＞0，
故g（x）在（﹣1，0）递增，
g（x）＞g（﹣1）=0，
故x2+x1= +1+x2＞0．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出x2+x1= +1+x2 ， 由m= = ，解得：﹣1＜x2＜0，令g（x）= +x+1，（﹣1＜x＜0），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．