Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的边OA在x轴上，将平行四边形沿对角线AC对折，AO的对应线段为AD，且点D，C，O在同一条直线上，AD与BC交于点E.

（1）求证：△ABC≌△CDA.

（2）若直线AB的函数表达式为，求三角线ACE的面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质，可得出CD=AB，∠DCA=∠BAC，结合AC=CA可证出△ABC≌△CDA（SAS）；
（2）由点D，C，O在同一直线上可得出∠DCA=∠OCA=90°，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标及OA的长度，由OC∥AB可得出直线OC的解析式为y=x，进而可得出∠COA=45°，结合∠OCA=90°可得出△AOC为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得出OC、AC的长，结合（1）的结论可得出四边形ABDC为正方形，再利用正方形的面积公式结合S△ACE=S正方形ABDC可求出△ACE的面积．

（1）证明：∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB=CO，AB∥OC，
∴∠BAC=∠OCA．
由折叠可知：CD=CO，∠DCA=∠OCA，
∴CD=AB，∠DCA=∠BAC．
在△ABC和△CDA中，

，

∴△ABC≌△CDA（SAS）．

（2）解：∵∠DCA=∠OCA，点D，C，O在同一直线上，

∴∠DCA=∠OCA=90°．
当y=0时，x-6=0，解得：x=6，
∴点A的坐标为（6，0），OA=6．
∵OC∥AB，
∴直线OC的解析式为y=x，
∴∠COA=45°，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴AC=OC=．
∵AB∥CD，AB=CD=AC，∠DCA=90°，
∴四边形ABDC为正方形，