Question

【题目】已知的内切圆与分别相切于点，若，如图1.

(1)判断的形状，并证明你的结论；

(2)设与相交于点，如图2，求的长.

Answer 1

【答案】（1）△ABC为等腰三角形，证明见解析；（2）AM= ．

【解析】

试题分析：（1）易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解题；

（2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根据AE长度即可解题．

试题解析：（1）△ABC为等腰三角形，

∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°，

∵四边形内角和为360°，∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，

∵ ，∴∠EOF=∠DOE，∴∠B=∠C，AB=AC，∴△ABC为等腰三角形；

（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，

∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，∴E是BC中点，BE=CE，

∵在Rt△AOF和Rt△AOD中 ，∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF=AD，

同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，∴AD=AF，BD=CF，

∴DF∥BC，∴ ，

∵AE= =4 ，∴AM=4×= ．