Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O．

（1）如图1，连接GH，GF，求证：GH=GF；
（2）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

（3）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2 ． （直接写结果）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形EFGH是正方形． ∴∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， ∵HA=EB=FC=GD，

∴AE=BF=CG=DH， ∴△CGF≌△DHG ∴ GH=GF；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，

∵HA=EB=FC=GD，

∴AE=BF=CG=DH，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四边形EFGH是菱形，

∵△DHG≌△AEH，

∴∠DHG=∠AEH，

∵∠AEH+∠AHE=90°，

∴∠DHG+∠AHE=90°，

∴∠GHE=90°，

∴四边形EFGH是正方形

（3）解：S阴影=1． ∵HA=EB=FC=GD=1，AB=BC=CD=AD=3， ∴GF=EF=EH=GH= ，

∵由（1）知，四边形EFGH是正方形， ∴GO=OF，∠GOF=90°， 由勾股定理得：GO=OF= ，

∵S四边形FCGO= ×1×2+ × × = ， ∴S阴影= ﹣S四边形FCGO×4=10﹣9=1

【解析】（1）根据正方形的性质得出∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， 结合已知得出AE=BF=CG=DH，从而判断出△CGF≌△DHG，根据全等三角形的性质得出结论；
（2）根据正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， 结合已知得出AE=BF=CG=DH，从而推出△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，由全等三角形的性质得出EF=FG=GH=HE，进而判断出四边形EFGH是菱形，再找出∠GHE=90°，根据正方形的判定得出四边形EFGH是正方形；
（3）根据已知条件，知道重新拼出来的图形是正方形，利用勾股定理求出GF,GO,FO的长，从而求出阴影部分的面积。
【考点精析】掌握勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．