Question

【题目】已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．

（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线的对称轴为x=1，

∴x=﹣ =1，即 =1，解得b=2．

∴y=﹣x2+2x+c．

将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．

配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．

∴抛物线的顶点坐标为（1，3）

（2）

解：如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．

∵M（1，m），C（1，2），

∴MC=m﹣2．

∴cot∠AMB= =m﹣2

（3）

解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，

∴抛物线向下平移了3个单位．

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．

∵OP=OQ，

∴点O在PQ的垂直平分线上．

又∵QP∥y轴，

∴点Q与点P关于x轴对称．

∴点Q的纵坐标为﹣ ．

将y=﹣ 代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣ ，解得：x= 或x= ．

∴点Q的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）

【解析】（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数图象的平移的相关知识，掌握平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减，以及对锐角三角函数的定义的理解，了解锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．