Question

【题目】在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为.例如：抛物线的伴随直线为，即

（1）在上面规定下，抛物线的顶点为 .伴随直线为 ；抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点 (点在点 的右侧)与 轴交于点

①若 求的值；

②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为，当 取得最大值 时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；（2）①m=﹣；②m=﹣2．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；

（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值．

试题解析：（1）∵y=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），

由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ，解得 或 ，

∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），

故答案为：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；

（2）①∵抛物线解析式为y=m（x﹣1）2﹣4m，

∴其伴随直线为y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得 或 ，

∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），

在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，

∴C（﹣1，0），D（3，0），

∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，

∵∠CAB=90°，

∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=﹣，

∴当∠CAB=90°时，m的值为﹣；

②设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），∴ ，解得 ，

∴直线BC解析式为y=﹣mx﹣m，

过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，

∵点P的横坐标为x，

∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），

∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，

∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣）2﹣ ]，

∴S△PBC=×[（2﹣（﹣1）]PQ=（x﹣）2﹣m，

∴当x=时，△PBC的面积有最大值﹣m，

∴S取得最大值时，即﹣m=，解得m=﹣2．