Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图像经过原点及点A（1,2）

与x轴相交于另一点B(3,0)，将点B向右平移3个单位得点C．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、点M在线段OC上，平面内有一点Q，使得四边形ABMQ为菱形，求点M坐标；

(3)、点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；

①当点E在二次函数的图像上时，求OP的长；

②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，若P点运动t秒时，直线AC与以DE为直径的⊙M相切，直接写出此刻t的值．

Answer 1

【答案】(1)、y=-+3x；(2)、M坐标为（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；(3)、①、；②、t=或t=.

【解析】

试题分析：(1)、可设二次函数的解析式为y=a+bx+c，利用二次函数的图象经过原点及点A（1，2），B（3，0），分别代入求出a，b，c的值即可；(2)、分M是AB的垂直平分线与x轴的交点；M在B点左边并且BM=AB；M在B点右边并且BM=AB；三种情况讨论可得点M坐标；(3)、①过A点作AH⊥x轴于H点，根据DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，进而求出OP的长；②分两种情况讨论，求出t的值即可．

试题解析：(1)、设二次函数的解析式为y=a+bx+c，

∵二次函数的图象经过原点及点A（1，2），B（3，0），

∴，解得． 故二次函数解析式为：y=-+3x；

(2)、M是AB的垂直平分线与x轴的交点，点M坐标是（1，0）；

M在B点左边并且BM=AB，点M坐标是（3-2，0）；

M在B点右边并且BM=AB，点M坐标是（3+2，0）；

故点M坐标为（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；

(3)、①由已知可得C（6，0）如图：过A点作AH⊥x轴于H点，

∵DP∥AH，∴△OPD∽△OHA，∴，即，∴PD=2a，

∵正方形PDEF，∴E（3a，2a），∵E（3a，2a）在二次函数y1=-x2+3x的图象上，

∴a=；即OP=．

②直线AC与以DE为直径的⊙M相切，此刻t的值为：t=或t=.