Question

【题目】如图，点C为线段BD上的点，分别以BC，CD为边作等边三角形ABC和等边三角形ECD，连接BE交AC于点M，连接AD交CE于点N，连接MN.试说明：（1）；（2）为等边三角形.

Answer 1

【答案】（1）说明见解析；（2）说明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC．CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS证△BCE≌△ACD，推出∠1=∠2即可;(2) 由∠ACB=∠ECD=60°，根据平角的等于可求得∠ACE=60°，即可得∠ACB=∠ACE ，利用ASA判定△ACN≌△BCM，根据全等三角形的性质可得NC=MC，所以△MCN是等腰三角形，又因∠ACE=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形，即可判定△MCN是等边三角形.

试题解析：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60° ；

∵△ECD是等边三角形，

∴EC=CD，∠ECD=60°，

∴∠ACB=∠ECD，

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD +∠ACE，

即：∠BCE=∠DCA .

在△ACD和△BCE中,

AC=BC，∠DCA=∠DCE，EC=CD,

∴△ACD≌△BCE,

∴∠1=∠2.

（2）∵∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACE=180°-∠ACB-∠ECD=180°-60°-60°=60°，

∴∠ACB=∠ACE .

在△ACN和△BCM中，

∠1=∠2，AC=BC,∠ACE=∠ACB，

∴△ACN≌△BCM（ASA），

∴NC=MC，

∴△MCN是等腰三角形，

又∵∠ACE=60°，

∴△MCN是等边三角形.