Question

【题目】如图， BAD CAE 90 ， AB AD ， AE AC ， ABD ADB ACE AEC 45 ，AF CF ，垂足为 F .

（1）若 AC 10 ，求四边形 ABCD 的面积；

（2）求证： CE 2 AF .

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案；

（2）过点A作AG⊥CG，垂足为点G，求出AF=AG，求出CG=AG=GE，即可解决问题．

（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD

∴∠BAC=∠EAD，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，

∴S四边形ABCD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=×102=50；

（2）证明：∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠ACE=∠AEC=45°，

由△ABC≌△ADE得：

∠ACB=∠AEC=45°，

∴∠ACB=∠ACE，

∴AC平分∠ECF；

过点A作AG⊥CG，垂足为点G，

∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，

∴AF=AG，

又∵AC=AE，

∴∠CAG=∠EAG=45°，

∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，

∴CG=AG=GE，

∴CE=2AG，

∴CE=2AF．