Question

【题目】如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y= （x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OBAC=160，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y= （x＞0）；②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA= ；④AC+OB=12 ．其中正确的结论有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：过点C作CF⊥x轴于点F，

∵OBAC=160，A点的坐标为（10，0），

∴OACF= OBAC= ×160=80，菱形OABC的边长为10，

∴CF= = =8，

在Rt△OCF中，

∵OC=10，CF=8，

∴OF= = =6，

∴C（6，8），

∵点D时线段AC的中点，

∴D点坐标为（ ， ），即（8，4），

∵双曲线y= （x＞0）经过D点，

∴4= ，即k=32，

∴双曲线的解析式为：y= （x＞0），故①错误；

∵CF=8，

∴直线CB的解析式为y=8，

∴ ，解得x=4，y=8，

∴E点坐标为（4，8），故②错误；

∵CF=8，OC=10，

∴sin∠COA= = = ，故③正确；

∵A（10，0），C（6，8），

∴AC= =4 ，

∵OBAC=160，

∴OB= = =8 ，

∴AC+OB=4 +8 =12 ，故④正确．

所以答案是：B．

【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和菱形的性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能正确解答此题．