Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE = OB．

（1）求证：△OBC ≌ △ODC．

（2）求证：∠DOE ＝ ∠ABC．

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图2），若∠ABC ＝ 52° ，求∠DOE的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析; （2）证明见解析; （3）52°．

【解析】试题分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCO=∠DCO，然后利用“边角边”证明即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBO=∠CDO，根据等边对等角可得∠CBO=∠E，然后求出∠DOE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证；

（3）根据（2）的结论解答．

试题解析（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCO=∠DCO=45°，

∵在△BCO和△DCO中，

，

∴△BCO≌△DCO（SAS）；

（2）由（1）知，△BCO≌△DCO，

∴∠CBO=∠CDO，

∵OE=OB，

∴∠CBO=∠E，

∵∠1=∠2（对顶角相等），

∴180°-∠1-∠CDO=180°-∠2-∠E，

即∠DOE=∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC，

∴∠DOE=∠ABC；

（3）解：与（2）同理可得：∠DOE=∠ABC，

∵∠ABC=52°，

∴∠DPE=52°．