【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），直线l与x轴正半轴夹角为30°，点B为直线l上的一个动点，延长AB至点C，使得AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D，交直线l于点F，过点A作AE∥l交直线CD于点E．

(1)、若点B的横坐标为6，则点C的坐标为(______，_____)，DE的长为 ；

(2)、若点B的横坐标大于3，则线段CF的长度是否发生改变？若不变，请求出线段CF的长度；若改变，请说明理由；

(3)、连结BE，在点B的运动过程中，以OB为直径的⊙P与△ABE某一边所在的直线相切，请求出所有满足条件的DE的长．

参考答案：

【答案】(1)、C(9，)；DE=；(2)、证明过程见解析；(3)、DE的长为或或

【解析】

试题分析：(1)、根据题意求出点C的坐标及DE的长度；(2)、过点A作AM⊥x轴于M，根据tan∠BOA的值求出AM的长度，然后证明△ABM和△CBF全等，从而得出CG=AM；(3)、本题需要分三种情况进行分类计算，首先分别画出图形，然后分别进行计算.

试题解析：(1)、C(9，) , DE=;

(2)、如图（1），过点A作AM⊥x轴于M ，∴∠OAM=90°, ∠BOA=30°, ∴AM=OAtan∠BOA=．

∵B为AC的中点， ∴AB=BC 又∵AM∥CF, ∴∠AMB=∠CFB ，∠MAB=∠FCB,

∴△ABM≌△CBF ∴CF=AM=． ∴线段CF的长度保持不变．

(3)、如图1，过点B作BG⊥x轴于点G．易证， OB=2BG ,CD=2BG,

∴OB=CD．

(I)当点D在点A的右侧时，⊙P只能与BE相切，如图2．

设DE=, 则OB=CD=． ∵⊙P与BE相切于点B，

∴OB⊥BE． 易得BF=EF=．

∴OF=OB+BF=． ∴OF=2DF, ∴=．

解得． ∴ DE=．

（II）当点D在线段OA上时，①若⊙P与直线AE相切，如图3，

易得，直线l与AE的距离是． ∴ OB=3． ∴ CD=3． ∴DE=2CF-CD=．

②当⊙P与AB相切，如图4． ∴∠OBA=90°． ∴OB=OAtan∠OBA=. ∴CD=.

∴ DE=2CF-CD==．

(III)当点D在点O的左侧时，⊙P只能与直线AE相切，如图5 ∵ 直线l与AE的距离是，

∴ OB=3．∴ CD=3． ∴ DE=2CF+CD=．

综上所述，DE的长为或或 ．

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