Question

【题目】如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．

（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF ， 求AE的长；
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE= ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图①，

∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

∴S△AEF≌S△DEF，

∵S四边形ECBF=3S△EDF，

∴S△ABC=4S△AEF，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB= =5，

∵∠EAF=∠BAC，

∴Rt△AEF∽Rt△ABC，

∴ =（ ）2，即（ ）2= ，

∴AE= ；

（2）

解：①四边形AEMF为菱形．理由如下：

如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，

∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，

∵MF∥AC，

∴∠AEF=∠MFE，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

∴AE=EM=MF=AF，

∴四边形AEMF为菱形；

②连结AM交EF于点O，如图②，

设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，

∵四边形AEMF为菱形，

∴EM∥AB，

∴△CME∽△CBA，

∴ ，即 = = ，解得x= ，CM= ，

在Rt△ACM中，AM= = = ，

∵S菱形AEMF= EFAM=AECM，

∴EF=2× = ；

（3）

解：如图③，

作FH⊥BC于H，

∵EC∥FH，

∴△NCE∽△NFH，

∴CN：NH=CE：FH，即1：NH= ：FH，

∴FH：NH=4：7，

设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，

∵FH∥AC，

∴△BFH∽△BAC，

∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x= ，

∴FH=4x= ，BH=4﹣7x= ，

在Rt△BFH中，BF= =2，

∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，

∴ = ．

【解析】本题考查了三角形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．解决此类题目时要各个击破．（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF≌S△DEF ， 则易得S△ABC=4S△AEF ， 再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到 =（ ）2 ， 再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，先证明△CME∽△CBA得到 = = ，解出x后计算出CM= ，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x= ，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出 的值．