Question

【题目】（1）如图①，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F，

求证：OE=OF．

（2）在图①中，过点O作直线GH分别交AB、CD于点G、H，且满足GH⊥EF，连结EG、GF、FH、HE．如图②，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，

若平行四边形ABCD变为矩形时，四边形EGFH是 ；

若平行四边形ABCD变为菱形时，四边形EGFH是 ；

若平行四边形ABCD变为正方形时，四边形EGFH是 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）菱形；菱形；正方形

【解析】

试题分析：（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质；

（2）当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形；

（3）若平行四边形ABCD变为矩形，即AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）；

若平行四边形ABCD变为菱形，即AC⊥BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）；

当四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；可通过证△BOG≌△COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴EO=FO；

（2）解：四边形EGFH是菱形；

理由：如图②：

由（1）可知，OE=OF，

同理可得：OG=OH，

∴四边形EGFH是平行四边形，

又∵EF⊥GH，

∴四边形EGFH是菱形；

（3）解：若平行四边形ABCD变为矩形时，四边形EGFH是菱形；

理由：由（2）知四边形EGFH是菱形，

当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；

故答案为：菱形；

若平行四边形ABCD变为菱形时，四边形EGFH是菱形；

理由：由（2）知四边形EGFH是菱形，

当AC⊥BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；

故答案为：菱形；

若平行四边形ABCD变为正方形时，四边形EGFH是四边形EGFH是正方形；

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°

∴∠BOG=∠COF；

在△BOG和△COF中

，

∴△BOG≌△COF（ASA）；

∴OG=OF，

同理可得：EO=OH，

∴GH=EF；

由（3）知四边形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四边形EGFH是正方形．

故答案为：正方形．