Question

【题目】已知：如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点，以为直径作.

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由OD∥AC可得出，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出BE的长度．

试题解析：（1）证明：连接OD，如图所示．

在Rt△ADE中，点O为AE的中心，

∴DO=AO=EO=AE，∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．

又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAO，∴∠ADO=∠CAD，∴AC∥DO．

∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．

又∵OD为半径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，∴AB=5．

设OD=r，则BO=5﹣r．

∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，

∴，即，解得：r=，

∴BE=AB﹣AE=5﹣=．