Question

【题目】阅读下列材料：

1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．

他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．

例如：分解因式．

∵是的一个解，∴可以分解为与另一个整式的乘积．

设

而，则有

，得，从而

运用材料提供的方法，解答以下问题：

（1）①运用上述方法分解因式时，猜想出的一个解为_______（只填写一个即可），则可以分解为_______与另一个整式的乘积；

②分解因式；

（2）若与都是多项式的因式，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②；（2）3

【解析】

（1）①计算当x=-1时，方程成立，则必有一个因式为（x+1）,即可作答；

②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；

（2））设（其中M为二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，然后列方程组求解即可．

解：（1）①，观察知，显然x=-1时，原式=0，则的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．

故答案为：x=-1；（x+1）

②设另一个因式为（x2+ax+b），

（x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b

=x3+（a+1）x2+（a+b）x+b

∴a+1=0，a=-1， b=3

∴多项式的另一因式为x2-x+3．

∴．

（2）设（其中M为二次整式），

由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，

∴可得，

∴②-①，得m-n=3

∴的值为3．