Question

【题目】如图1，AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，如果点G在AD上，且∠GCE=45°，那么EG=BE+DG是否成立，请说明理由．

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，点E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在△CBE和△CDF中，

，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF；

（2）

解：EG=BE+DG成立，

∵△CBE≌△CDF，

∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，BE=DF，

∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠DCG=45°，

∴∠DCF+∠DCG=45°，即∠FCG=45°，

∴∠FCG=∠GCE，

在△ECG和△FCG中，

，

∴△ECG≌△FCG，

∴GE=GF，

∴EG=BE+DG；

（3）

作CF⊥AD交AD的延长线于F，

由（2）得，DE=BE+DF，

设DE=x，

∵AB=12，BE=4，

∴AE=8，

∴DF=x﹣4，AD=12﹣（x﹣4）=16﹣x，

由勾股定理得，82+（16﹣x）2=x2，

解得，x=10，

∴DE的长为10．

【解析】（1）证明△CBE≌△CDF，根据全等三角形的性质证明；（2）根据全等三角形的性质得到CE=CF，∠BCE=∠DCF，BE=DF，证明△ECG≌△FCG，根据全等三角形的性质解答；（3）根据（2）的结论和勾股定理计算即可．