Question

【题目】如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若 BF=10，sin∠BDE= ，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图所示，连接OD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵BD平分∠OBC，

∴∠OBD=∠DBE，

∴∠ODB=∠DBE，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径，

∴直线DE是⊙O的切线

（2）解：如图，连接DF，

∵BF是⊙O的直径，

∴∠FDB=90°，

∴∠F+∠OBD=90°，

∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，

∴∠F=∠BDE，

在Rt△BDF中， =sinF=sin∠BDE= ，

∴BD=10× =2 ，

∴在Rt△BDE中，sin∠BDE= = ，

∴BE=2 × =2，

∴在Rt△BDE中，DE= = =4．

【解析】（1）先连接OD，根据∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，进而得出直线DE是⊙O的切线；（2）先连接DF，根据题意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根据 =sinF=sin∠BDE= ，可得BD=2 ，在Rt△BDE中，根据sin∠BDE= = ，可得BE=2，最后依据勾股定理即可得到DE的长．
【考点精析】通过灵活运用解直角三角形，掌握解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．