Question

【题目】已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．

（1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求证：AB∥CD；

（2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当∠NCE＝　 　°时，AB∥CD；

（3）如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD；

（4）如图③，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当∠NCE＝80°时，AB∥CD；（3）当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD；（4）当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD.

【解析】

（1）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=75°，即可求结论．

（2）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=100°，再根据AB∥CD，可求∠NCE的度数

（3）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=180°-∠MAE+2∠FEG，再根据AB∥CD，可求其关系．

（4）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=∠MAE+2∠FEG-180°，再根据AB∥CD，可求其关系．

证明（1）∵∠1＝∠2

∴AB∥EF

∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15°

∴∠AEG＝60°

∵EG平分∠AEC

∴∠AEG＝∠CEG＝60°

∴∠CEF＝75°

∵∠ECN＝75°

∴∠FEC＝∠ECN

∴EF∥CD且AB∥EF

∴AB∥CD

（2）∵∠1＝∠2

∴AB∥EF

∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140°

∴∠AEF＝40°

∵∠FEG＝30°

∴∠AEG＝70°

∵EG平分∠AEC

∴∠GEC＝∠AEG＝70°

∴∠FEC＝100°

∵AB∥CD，AB∥EF

∴EF∥CD

∴∠NCE+∠FEC＝180°

∴∠NCE＝80°

∴当∠NCE＝80°时，AB∥CD

（3）∵∠1＝∠2

∴AB∥EF

∴∠MAE+∠FEA＝180°

∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，

∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG

∵EG平分∠AEC

∴∠GEC＝∠AEG

∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG

∵AB∥CD，AB∥EF

∴EF∥CD

∴∠FEC+∠NCE＝180°

∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°

∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE

∴当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD

（4）∠1＝∠2

∴AB∥EF

∴∠MAE+∠FEA＝180°

∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，

∴∠AEG＝∠FEG﹣∠FEA＝∠FEG﹣180°+∠MAE

∵EG平分∠AEC

∴∠GEC＝∠AEG

∴∠FEC＝∠FEA+2∠AEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°+2∠MAE＝∠MAE+2∠FEG﹣180°

∵AB∥CD，AB∥EF

∴EF∥CD

∴∠FEC+∠NCE＝180°

∴∠MAE+2∠FEG﹣180°+∠NCE＝180°

∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°

∴当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD