Question

【题目】已知，抛物线y=ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE= ．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP= S△ACD ， 求点P的坐标；
（4）在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线的对称轴是直线x=1，点A（3，0），

∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为（﹣1，0），OA=3，

将A（3，0），B（﹣1，0）代入抛物线解析式中得： ，

解得： ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=1时，y=4，

∴顶点D（1，4）．

（2）解：当=0时，

∴点C的坐标为（0，3），

∴AC= =3 ，CD= = ，AD= =2 ，

∴AC2+CD2=AD2，

∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．

∴AD为△ACD外接圆的直径，

∵点E在 轴C点的上方，且CE= ．

∴E（0， ）

∴AE= = DE= = ，

∴DE2+AD2=AE2，

∴△AED为直角三角形，∠ADE=90°．

∴AD⊥DE，

又∵AD为△ACD外接圆的直径，

∴DE是△ACD外接圆的切线；

（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，

根据题意得： ，

解得： ，∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，

∵A（3，0），D（1，4），

∴线段AD的中点N的坐标为（2，2），

过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，

设直线NP的解析式为y=﹣x+c，

则﹣2+c=2，解得：c=4，

∴直线NP的解析式为y=﹣x+4，

由y=﹣x+4，y=﹣x2+2x+3联立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，

解得：x= 或x= ，

∴y= ，或y=

∴P（ ， ）或（ ， ）；

（4）解：分三种情况：①M恰好为原点，满足△CMB∽△ACD，M（0，0）；

②M在x轴正半轴上，△MCB∽△ACD，此时M（9，0）；

③M在y轴负半轴上，△CBM∽△ACD，此时M（0，﹣ ）；

综上所述，点M的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣ ）．

【解析】（1）把A点坐标代入解析式及由对称轴x=1求出B点坐标代入即可;顶点可配方化为顶点式；（2）由两点间距离公式求出AC、CD、AD的长，运用勾股定理逆定理判定出△ACD为直角三角形，再判定出△AED为直角三角形，∠ADE=90°．即AD⊥DE，AD为△ACD外接圆的直径，所以DE是△ACD外接圆的切线;（3）若S△ACP= S△ACD则P在过AD中点的平行于AC的直线上，此直线解析式中k 与AC 解析式斜率k相等，联立此直线与抛物线解析式，求出P的坐标;（4）用文字连接的相似，对应点不确定，须分类讨论，分3类：M恰好为原点；M在x轴正半轴上；M在y轴负半轴上；按照对应边成比例，可求出M坐标.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．