【题目】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部△CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．

（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；

（2）设MN与AB之间的距离为x 米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；

（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）0.5平方米；（2）0＜x≤1时，S=x；1＜x＜ 时，S= ；（3）1或

【解析】试题分析：（1）要看图解答问题．得出当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米可得出三角形EMN的面积；

（2）本题要分情况解答（0<x≤1；1<x<1+）．当0<x≤1时，可直接得出三角形的面积函数；当1<x<1+，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证△MNG∽△DCG，继而得出三角形面积函数；

（3）本题也要分两种情况解答：当MN在矩形区域滑动时以及当MN在三角形区域滑动时），利用二次函数的性质解答．当MN在矩形区域滑动时，S=x，可直接由图得出取值范围；当MN在三角形区域滑动时，由二次函数性质可知，在对称轴时取得最大值．

试题解析：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN=AB=2米，MN边上的高为0.5米.

所以，S△EMN= =0.5（平方米）.

即△EMN的面积为0.5平方米.

（2）①当MN在矩形区域滑动时，即0＜x≤1时，此时MN=AB=2米，

∴△EMN的面积S= ；

②当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜ 时.如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，

∵ E为AB中点，

∴易得 F为CD中点，

GF⊥CD,且FG＝ .

∴GH= ，

又∵ MN∥CD，

∴ △MNG∽△DCG．

∴ ，

∴，即．

故△EMN的面积S＝＝＝；

（3）①当MN在矩形区域滑动时，

S= ， ，所以当=1时，有S最大= 1；

②当MN在三角形区域滑动时，

S= ，（1＜x＜）.

所以，当=时，有S最大=

综合①、②得：当=时，S的最大值为 平方米.

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