【题目】已知二次函数 （ 是常数）．
（1）求证：不论 为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 轴只有一个公共点？

参考答案：

【答案】
（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0

∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解， 即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；


（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，

∴把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．


【解析】（1）先求出b2-4ac，再将它与0比较大小即可得证。
（2）先将函数解析式化成顶点形式，得到的函数的图象要与 x 轴只有一个公共点，则顶点点纵坐标为0 ，即可求出平移的单位。

【考点精析】通过灵活运用抛物线与坐标轴的交点，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．即可以解答此题．

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