Question

【题目】某种产品形状是长方形，长为8cm，它的展开图如图：

（1）求长方体的体积；

（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小）

Answer 1

【答案】（1）长方形的体积为144cm3；（2）纸箱的表面积为792cm2

【解析】

（1）设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（12﹣2x）cm，根据长方体的展开图可见产品的一个宽+2个长+一个高=25，从而列出方程，求解得出长方体产品的长宽高，再根据长方体的体积计算方法即可算出答案；

（2）由于产品的长宽高是固定的，厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少，故在装这10件产品时，让产品重叠在一起的面积尽可能的大，从而得出设计的包装纸箱为15×12×8规格，再根据长方体的表面积计算方法即可算出答案.

（1）解：设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（12﹣2x）cm，根据题意可得：

12﹣2x+8+x+8=25，

解得：x=3，

所以长方体的高为3cm，宽为6cm，长为8cm，

长方形的体积为：8×6×3=144cm3；

（2）解：由要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小），可知纸箱的装法有两种，即每层一个共10层或每层两个共5层，

①每层一个共10层：

（ⅰ）当3×6的面叠加在一起时，

表面积为2（3×6+3×80+6×80）=1476cm2,

（ⅱ）当3×8的面叠加在一起时，

表面积为2（3×8+3×60+8×60）=1368cm2,

（ⅲ）当6×8的面叠加在一起时，

表面积为2（30×8+30×6+8×6）=936cm2,

②每层两个共5层：

（ⅰ）当每一层的两个长方体的3×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的3×8的面贴地面时，

表面积为2（3×16+3×30+16×30）=1236cm2,

（ⅱ）当每一层的两个长方体的3×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的6×8的面贴地面时，

表面积为2（6×16+6×15+16×15）=852cm2,

（ⅲ）当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的3×6的面贴地面时，

表面积为2（3×12+3×40+12×40）=1272cm2,

（ⅳ）当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×6的面贴地面时，

表面积为2（12×8+8×15+12×15）=792cm2,

（ⅴ）当每一层的两个长方体的8×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×3的面贴地面时，

表面积为2（6×8+6×30+8×30）=936cm2,

（ⅵ）当每一层的两个长方体的8×6的面叠加在一起时，且底层的长方体的6×3的面贴地面时，

表面积为2（6×6+6×40+6×40）=1032cm2,

所以当每一层的两个长方体的3×8的面叠加在一起时，且底层的长方体的8×6的面贴地面时，表面积最小，为792cm2，设计的包装纸箱为长为12cm，宽为8cm，高为15cm.

故答案为：792cm2