Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC，BD相交于O，P是边BC上一点，AP与BD交于点M，DP与AC交于点N．
①若点P为BC的中点，则AM：PM=2：1；
②若点P为BC的中点，则四边形OMPN的面积是8；
③若点P为BC的中点，则图中阴影部分的总面积为28；
④若点P在BC的运动，则图中阴影部分的总面积不变．
其中正确的是 ． （填序号即可）

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①正确；

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC，AD∥BC，

∴AM：PM=AD：BP，

∵点P为BC的中点，

∴BP= BC= AD，

∴AM：PM=2：1；

②不正确；作MG⊥BC于G，如图所示：

则MG∥AB，

∴△PMG∽△PAB，

∴MG：AB=PM：PA=1：3，

∴MG= AB=2，

∴四边形OMPN的面积=△BOC的面积﹣△MBP的面积﹣△NCP的面积= ×8×6﹣ ×4×2﹣ ×4×2=4；③正确；

∵图中空白部分的面积=△DBP的面积+△ACP的面积﹣四边 形OMPN的面积= ×4×6+ ×4×6﹣4=20，

∴图中阴影部分的总面积=矩形ABCD的面积﹣图中空白部分的面积=8×6﹣20=28；④错误；

∵P在B时，阴影部分的面积= ×6×8=24≠28；

正确的有①③；

所以答案是：①③．

【考点精析】掌握矩形的性质和平行线分线段成比例是解答本题的根本，需要知道矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．