Question

【题目】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想

如图1，当点D在线段BC上时，

① BC与CF的位置关系为　 　；

② BC，CD，CF之间的数量关系为　 　．（直接写出结论）

（2）数学思考

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=， CD=BC，则GE的长为 ．（请直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）①BC⊥CF；②BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC，详见解析；（3）.

【解析】

(1) 根据正方形的性质得到∠DAF=∠BAC=90°， 推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；根据全等三角形的性质得到CF=BD， ∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90"，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；
(3) 过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示，由△ADH≌△DEM，推出EM=DH=3，DM=AH=2， 推出CN=EM=3，EN=CM=3，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG=BC=4，推出GN=CG-CN=1，再由勾股定理即可解决问题.

（1）①∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=∠BAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF,

∵AB=AC,

∴△DAB≌△FAC,

∴∠B=∠ACF,

∴∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABC=90°，

∴BC⊥CF,

故答案为：BC⊥CF；

②∵△DAB≌△FAC,

∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD，

故答案为：BC=CF+CD；

(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC，理由如下：

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=∠BAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF,

∵AB=AC,

∴△DAB≌△FAC,

∴∠ABD=∠ACF,

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∴∠ABD=180°-45°=135°，

∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，

∴CF⊥BC，

∵CD=DB+BC，DB=CF，

∴CD=CF+BC；

(3)过A作AH⊥ BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：

∵∠BAC=90°，AC=AB=，

∴BC=4，

∴CD=BC=1，

∵AH⊥BC，

∴AH=BC=BH=CH=2,
∴DH=CH+CD=3，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90"，
∴∠ ADH=∠DEM，

∴△ADH≌△DEM (AAS) ，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3， EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45° ，
∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=4，

∴GN=1，

在Rt△EGN中，EG=.

故答案为： .