Question

【题目】在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．

（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；

（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：；

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，即可得到△AEG≌△AEF；

（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则有EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，再证明∠GME=90°，MG=NF，由勾股定理得到，等量代换即可得到；

（3）延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，得到EF=HE，DF=GH，BE=BM，由（2）知HM⊥ME，得到，，，从而得到结论．

试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，∵AG=AF，∠GAE=∠FAE=45°，AE=AE，∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG，由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF，∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴；

（3）．证明如下：

如图3所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，∴EF=HE，DF=GH，BE=BM，由（2）知HM⊥ME，∴，，，∴．