Question

【题目】已知四边形ABCD是正方形，点P，Q在直线BC上，且AP∥DQ，过点Q作QO⊥BD，垂足为点O，连接OA，OP．

（1）如图，点P在线段BC上，
①求证：四边形APQD是平行四边形；
②判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（2）若正方形ABCD的边长为2，直接写出BP=1时，△OBP的面积．

Answer 1

【答案】
（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∵AP∥DQ，

∴四边形APQD为平行四边形；

②解：结论：OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO=45°，

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，

∴OB=OQ，

在△AOB和△OPQ中，

，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，

∴∠AOP=∠BOQ=90°，

∴OA⊥OP

（2）解：如图，过O作OE⊥BC于E．

①如图1，当P点在B点右侧时，

则BQ=1+2=3，OE= BQ= ，

∴S△OPB= ×1× =

②如图2，当P点在B点左侧时，

则BQ=2﹣1=1，OE= BQ= ，

∴S△PBO= ×1× = ，

综上所述，△POB的面积为 或 ．

【解析】①由四边形ABCD是正方形，得到AD∥BC，已知AP∥DQ，得到四边形APQD为平行四边形；由正方形的性质得AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，已知OQ⊥BD，得到∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，得到OB=OQ，得到△AOB≌△POQ（SAS），得到OA=OP，∠AOB=∠POQ=90°，即OA⊥OP；②当P点在B点右侧时，则BQ=1+2=3，OE= BQ2= 3 2 ，求出△OPB的面积；当P点在B点左侧时，则BQ=2﹣1=1，OE=BQ2= 1 2，求出△OPB的面积.
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质和正方形的性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．