Question

【题目】如图，的对角线与相交于点E，点G为的中点，连接，的延长线交的延长线于点F，连接．

（1）求证：；

（2）若，，判断四边形的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）矩形，证明见解析

【解析】

（1）根据ASA定理证得△AGF≌△DGC，从而得到GF=GC，求得四边形ACDF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求证；

（2）利用平行四边形的判定与性质结合全等三角形的性质得出△AFG是等边三角形，从而得到AD=CF，再利用矩形的判定方法得出答案．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠FAG=∠CDG，

∵点G是AD的中点，

∴GA=GD，

在△AGF和△DGC中，

∴△AGF≌△DGC（ASA）；

∴GF=GC,AF=DC

∴四边形ACDF是平行四边形

∴AC=DF

又∵在平行四边形ABCD中，

∴；

（2）解：四边形ACDF是矩形．

理由：由（1）可知四边形是ACDF平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，

∴AB=AF，

又∵AG=AB，

∴AG=AF，

∴AB=AG=AF，

∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，∠BCD=120°

∴∠BAD=120°，∠FAG=60°，

∴△AFG是等边三角形，

∴AG=GF，

∵△AGF≌△DGC，

∴FG=CG，

∵AG=GD，

∴AD=CF，

∴四边形ACDF是矩形．