Question

【题目】等边△ABC中，点P由点A出发沿CA方向运动，同时点Q以相同的速度从点B出发沿BC方向运动，当点Q到达C点时，P，Q两点都停止运动，连接PQ，交AB于点M．

（1）如图①，当PQ⊥BC时，求证：AP＝AM．

（2）如图②，试说明：在点P和点Q运动的过程中，PM＝QM．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）过A作AD⊥BC于D，由等边三角形的性质得出∠BAD=∠CAD，证出PQ∥AD，由平行线的性质得出∠P=∠DAC，∠AMP=∠BAD，得出∠P=∠AMP，即可得出结论；
（2）过Q作QE∥AC交AB于E，证出△BQE是等边三角形，得出BQ=EQ，证出EQ=AP，证明△PMA≌△QME（AAS），即可得出PM=QM．

（1）证明：过A作AD⊥BC于D，如图①所示：

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，

∵AD⊥BC，PQ⊥BC，

∴PQ∥AD，

∴∠P＝∠DAC，∠AMP＝∠BAD，

∴∠P＝∠AMP，

∴AP＝AM；

（2）证明：过Q作QE∥AC交AB于E，如图②所示：

则∠BEQ＝∠BAC，∠BQE＝∠C，∠P＝∠EQM，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠BAC＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BEQ＝∠BQE，

∴△BQE是等边三角形，

∴BQ＝EQ，

∵AP＝BQ，

∴EQ＝AP，

在△PMA和△QME中，，

∴△PMA≌△QME（AAS），

∴PM＝QM．