Question

【题目】如图点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA=PB．

（1）如图1，求证：∠PAC=∠PBC；

（2）如图2，作PE⊥BC于E，若AC=5，BC=11，则= ；

（3）如图3，若M、N分别是边AC、BC上的点，且∠MPN=∠APB，则线段AM、MN、BN 之间有何数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）3：8；（3）AM+MN=BN.

【解析】试题分析：（1）先利用角平分线定理判断出PE=PF，进而判断出Rt△PAF≌Rt△PEB，即可得出结论；

（2）先判断出△PCF≌△PCE，进而得出CF=CE，而Rt△PAF≌Rt△PEB得出AF=BE即可得出AC+CF=BC﹣CE，进而求出CE=CF=3，即可求出结论；

（3）先判断出△PMA≌△PQB，进而得出∠APB=∠MPQ，即可判断出△MPN≌△QPC，得出MN=QN即可得出结论．

试题解析：解：（1）如图1，过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵PC平分∠DCB，∴PE=PF，在Rt△PAF和Rt△PEB中，∵PF=PE，PA=PB，∴Rt△PAF≌Rt△PEB，∴∠PAC=∠PBC；

（2）如图2，过点P作PF⊥AC于F，∵PE⊥BC，CP是∠BCD的平分线，∴PE=PF，∠PCF=∠PCE，∵PC=PC，∴△PCF≌△PCE，∴CF=CE，由（1）知，Rt△PAF≌Rt△PEB，∴AF=BE，∵AF=AC+CF，BE=BC﹣CE，∴AC+CF=BC﹣CE，∴5+CF=11﹣CE，∴CE=CF=3，∵△PFC≌△PEC，∴S△PFC=S△PEC，∵Rt△PAF≌Rt△PEB，∴S△PAF=S△PEB，∴S△PCE：S△PBE=S△PFC：S△PFA=CF×PF： AC×PF=CF：AC=3：（3+5）=3：8；

（3）如图3，在BC上截取BQ=AM，在△PMA和△PQB中，∵PA=PB，∠PAM=∠PBQ，MA=BQ，∴△PMA≌△PQB，∴PM=PQ，∠MPA=QPB，∴∠APM+∠QPB=∠APN+∠MPA，即：∠APB=∠MPQ，∵∠MPN=∠APB，∴∠MPN=∠MPQ，∴∠MPN=∠QPN，在△MPN和△QPC中，∵PN=PN，∠MPN=∠QPN，MP=QP，∴△MPN≌△QPC，∴MN=QN，∴BM=AM+MN．