Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD延长线于点E，交AB延长线于点F，且EG=EK．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OG，

∵弦CD⊥AB于点H，

∴∠AHK=90°，

∴∠HKA+∠KAH=90°，

∵EG=EK，

∴∠EGK=∠EKG，

∵∠HKA=∠GKE，

∴∠HAK+∠KGE=90°，

∵AO=GO，

∴∠OAG=∠OGA，

∴∠OGA+∠KGE=90°，

∴GO⊥EF，

∴EF是⊙O的切线

（2）解：连接CO，在Rt△OHC中，

∵CO=13，CH=12，

∴HO=5，

∴AH=8，

∵AC∥EF，

∴∠CAH=∠F，

∴tan∠CAH=tan∠F= = ，

在Rt△OGF中，∵GO=13，

∴FG= = ．

【解析】（1）连接OG，首先证明∠EGK=∠EKG，再证明∠HAK+∠KGE=90°，进而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，进而证明EF是⊙O的切线；（2）连接CO，利用勾股定理计算出HO的长，然后可得tan∠CAH=tan∠F= = ，再利用三角函数在Rt△OGF中计算出FG的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．