Question

【题目】已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连结DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连结EC，AG．

（1）当点E在正方形ABCD内部时，
①依题意补全图形；
②判断AG与CE的数量关系与位置关系并写出证明思路．
（2）当点B，D，G在一条直线时，若AD=4，DG= ，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：①依题意补全图形，如图1所示，

②AG=CE，AG⊥CE．

证明思路如下：

由正方形ABCD，可得AD=CD，∠ADC=90°，

由DE绕着点D顺时针旋转90°得DG，

∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE

∴∠GDA=∠EDC．

∵DG=DE，AD=CD，

∴△AGD≌△CED，

∴AG=CE．

延长CE分别交AG、AD于点F、H，

∵△AGD≌△CED，

∴∠GAD=∠ECD，

∵∠AHF=∠CHD，

∴∠AFH=∠HDC=90°

∴AG⊥CH

（2）

证明：当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示．

过G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ADB=∠GDM=45°．

∵GM⊥AD，DG= ，

∴MD=MG=1

在Rt△AMG中，由勾股定理，得AG= =

∴CE=AG=

当点G在线段BD上时，如图4所示．

过G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ADG=45°

∵GM⊥AD，DG= ，

∴MD=MG=1

在Rt△AMG中，由勾股定理，得AG= = ，

∴CE=AG=

故CE的长为 或

【解析】（1）依题意补全图形，如图1所示，（2）由旋转得到∠GDA=∠EDC，判断出△AGD≌△CED，得出∠AFH=∠HDC=90°即可；（3）由正方形的线段得到MD=MG=1，再根据勾股定理计算即可．
【考点精析】本题主要考查了图形的旋转的相关知识点，需要掌握每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素才能正确解答此题．