Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．

（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为 ；

（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；

（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①证明见解析，②t=，PM与⊙O不相切.

【解析】

试题分析：（1）先证△PBQ∽△CBD，求出PQ、BQ，进而可求出t值；（2）先证△QTM∽△BCD，利用线段成比例可求出t值；（3）①QM交CD于E，利用DE、DO差值比较可判断点O始终在QM所在直线的左侧；②由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，利用线段成比例可求t值，再利用反证法证明直线PM不可能与⊙O相切.

试题解析：解：（1）如图1中，在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，∴，∵PQ⊥BD，∴∠BPQ=90°，∵∠PBQ=∠DBC，∠BPQ=∠C，∴△PBQ∽△CBD，∴==，∴==，∴PQ=3t，BQ=5t，∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，∴QP=QC，∴3t=6﹣5t，

∴t=.（2）解：如图2中，作MT⊥BC于T．∵MC=MQ，MT⊥CQ，∴TC=TQ，∴ TQ=（8﹣5t），QM=3t，

∵MQ∥BD，∴∠MQT=∠DBC，∵∠MTQ=∠BCD=90°，∴△QTM∽△BCD，∴=，∴

∴t=（s），∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．（3）①证明：如图2中，由此QM交CD于E，

∵EQ∥BD，∴=，∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=t，∵DO=3t，∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0，∴点O在直线QM左侧．②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．∵EC=（8﹣5t），DO=3t，∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t，∵OH⊥MQ，∴∠OHE=90°，∵∠HEO=∠CEQ，

∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，∵∠OHE=∠C=90°，∴△OHE∽△BCD，∴=，∴，∴t=．

∴t=s时，⊙O与直线QM相切．连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH= PMQ=22.5°，在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，∴∠OFH=∠FOH=45°，∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8 ，∴MH=0.8（+1），

由=得到HE=，由=得到EQ=，∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4- - =，

∴0.8（+1）≠，矛盾，∴假设不成立．∴直线MQ与⊙O不相切．