Question

【题目】在等边△ABC中．

（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．

①依题意将图2补全；

②求证：PA=PM．

Answer 1

【答案】（1）80°（2）①见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠B=60°，由三角形的外角等于不相邻的两个内角和得出∠APC的度数，再由等边对等角即可得出结论；

（2）①根据题意补全图形；

②证明△APM为等边三角形即可得出结论．

（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∴∠APC=∠BAP+∠B=80°．

∵AP=AQ，∴∠AQB=∠APC=80°．

（2）① 补全图形如图所示．

②过点A作AH⊥BC于点H，如图，∵△ABC为等边三角形，AP=AQ，∴∠PAH=∠QAH，∠BAH=∠CAH，∴∠PAB=∠QAC．

∵点Q，M关于直线AC对称，∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM，∴∠PAB=∠MAC，AP=AM．

∵∠BAC=60°，∴∠PAM=∠BAC=60°．

∵AP=AM，∴△APM为等边三角形，∴PA=PM．