Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB,AD CD,垂足为D，AD交⊙O 于E,连接CE.

（1）求证：CD 是⊙O 的切线
（2）若E是弧AC的中点，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积。

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD与圆O相切；
（2）解：连接EB，交OC于F．

∵E为弧AC的中点，

∴弧AE==弧EC，∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ECA．

又∵∠EAC=∠OAC，

∴∠ECA=∠OAC，

∴CE∥OA．

又∵OC∥AD，

∴四边形AOCE是平行四边形，

∴CE=OA，AE=OC．

又∵OA=OC=1，

∴四边形AOCE是菱形．

∵AB为直径，得到∠AEB=90°，

∴EB∥CD．

∵CD与⊙O相切，C为切点，

∴OC⊥CD，

∴OC∥AD，

∵点O为AB的中点，

∴OF为△ABE的中位线，

∴OF= AE= ，即CF=DE= ，

在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC= ，则S阴影=S△DEC= ．

【解析】（1）要证CD与圆O相切，需证OC垂直于CD,结合已知条件，由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证；
（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积可转化为为直角三角形DEC的面积，求出S△DEC即可.