Question

【题目】如图所示，AB为⊙O的直径，AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C．

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：∠CDA=∠AED．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）连接OD，根据OA=OD，推出∠OAD=∠CAD，求出∠ODA=∠CAD，求出OD⊥CD，根据切线的判定推出即可；

（2）连接BD，利用AB为直径的性质进行解答．

试题解析：证明：（1）CD是⊙O的切线．证明如下：

连接OD．∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD．∵AC⊥CD，即∠CAD+∠CDA=90°，∴∠ODA+∠CDA=90°，∴OD⊥CD，即CD是⊙O的切线；

（2）连接BD．∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠B=∠AED，∴∠AED+∠BAD=90°．∵∠CDA+∠CAD=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CDA=∠AED．