Question

【题目】如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB= ，BC=4，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA交BC于点E，

由AB=AC可得OA⊥BC，

∵PA∥BC，

∴∠PAO=∠BEO=90°．

∵OA为⊙O的半径，

∴PA为⊙O的切线．

（2）解：根据（1）可得CE= BC=2．

Rt△ACE中， ，

∴tanC= ．

∵BD是直径，

∴∠BAD=90°，

又∵∠D=∠C，

∴tanD= = ，

∴AD= ．

【解析】（1）证PA是⊙O的切线，则需要证明PA垂直过A的半径，为此连接OA，利用垂径定理可证出OA⊥BC，再利用平行线的性质可得∠PAO=90°，可得证；
（2）在Rt△ACE中由勾股定理可求得AE的长，又，又易证∠D=∠C，且，从而求出AD的长.
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和切线的判定定理，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能得出正确答案．