Question

【题目】如图，在矩形中，，为边的中点．将绕点顺时针旋转，点的对应点为，点的对应点为，过点作交于点，连接、交于点.现有下列结论：①；②；③；④点为的外心.

其中正确结论的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

Answer 1

【答案】B.

【解析】

试题分析：根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据当AB=BC时，四边形ABCD为正方形进行判断，即可得出当AB＜BC时，AM=DE+BM不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=ADCM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心．

∵E为CD边的中点，∴DE=CE，

又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，

又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，

∴AM=MC+AD，故①正确；

当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，

设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，

在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，解得a=1.5，即BM=1.5，

∴由勾股定理可得AM=2.5，∴DE+BM=2.5=AM，

又∵AB＜BC，∴AM=DE+BM不成立，故②错误；

∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，

又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=ADCM，故③正确；

∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圆的直径，

∵BM＜AD，∴当BM∥AD时，＜1，

∴N不是AM的中点，∴点N不是△ABM的外心，故④错误．

综上所述，正确的结论有2个，

故选B．