Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB= ，延长OE到点F，使EF=2OE．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：BF是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连OA，如图，

∵直径CE⊥AB，

∴AD=BD=2，弧AE=弧BE，

∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，

又∵∠AOB=2∠ACB，

∴∠BOE=∠ACB，

而cos∠ACB= ，

∴cos∠BOD= ，

在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，

∵OD2+BD2=OB2，

∴x2+22=（3x）2，解得x= ，

∴OB=3x= ，

即⊙O的半径为 ；

（2）

证明：∵FE=2OE，

∴OF=3OE= ，

∴ = ，

而 = ，

∴ = ，

而∠BOF=∠DOB，

∴△OBF∽△ODB，

∴∠OBF=∠ODB=90°，

∵OB是半径，

∴BF是⊙O的切线．

【解析】（1）连OA，由直径CE⊥AB，根据垂径定理可得到AD=BD=2，弧AE=弧BE，利用圆周角定理得到∠ACE=∠BCE，∠AOB=2∠ACB，且∠AOE=∠BOE，则∠BOE=∠ACB，可得到cos∠BOD=cos∠ACB= ，在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，利用勾股定理可计算出x= ，则OB=3x= ；（2）由于FE=2OE，则OF=3OE= ，则 = ，而 = ，于是得到 = ，根据相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根据相似三角形的性质有∠OBF=∠ODB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论．