Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，AC＝DB．

（1）求证：AD＝BC；

（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相平分．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

（1）由平行四边形的性质易得AC＝BM＝BD，∠BDC＝∠M＝∠ACD，由全等三角形判定定理及性质得出结论；

（2）连接EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，易得四边形HFGE为平行四边形，由平行四边形的性质及（1）结论得HFGE为菱形，易得EF与GH互相垂直平分．

证明：（1）过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，如图1，

∵AB∥CD

∴四边形ABMC为平行四边形．

∴AC＝BM＝BD，∠BDC＝∠M＝∠ACD．

在△ACD和△BDC中，

，

∴△ACD≌△BDC（SAS），

∴AD＝BC；

（2）连接EH，HF，FG，GE，如图2，

∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，

∴HE∥AD，且HE＝AD，FG∥AD，且FG＝，

∴四边形HFGE为平行四边形，

由（1）知，AD＝BC，

∴HE＝EG，

∴HFGE为菱形，

∴EF与GH互相垂直平分．